Το θεώρημα της Νέτερ (Noether) δηλώνει ότι κάθε συνεχής συμμετρία1 της δράσης2 ενός φυσικού συστήματος με διατηρητικές δυνάμεις έχει έναν αντίστοιχο νόμο διατήρησης. Αυτό είναι το πρώτο από τα δύο θεωρήματα που δημοσιεύτηκαν από τη μαθηματικό Έμι Νέτερ (γερμανικά: Amalie Emmy Noether) το 1918.
Τα κλασικά παραδείγματα
| Συμμετρία | Τι σημαίνει | Διατηρούμενο μέγεθος |
|---|---|---|
| Μετατόπιση στον χρόνο | οι νόμοι δεν αλλάζουν αν κάνουμε το ίδιο πείραμα αύριο | Ενέργεια |
| Μετατόπιση στον χώρο | οι νόμοι δεν αλλάζουν αν μεταφέρουμε το σύστημα αλλού | Γραμμική ορμή |
| Περιστροφή στον χώρο | οι νόμοι δεν αλλάζουν αν περιστρέψουμε ολόκληρο το σύστημα | Στροφορμή |
Εδώ είναι και η τομή: πριν από το θεώρημα, οι τρεις αυτοί νόμοι διατήρησης εμφανίζονταν ως ξεχωριστοί νόμοι, τρία ανεξάρτητα «έτσι το βρίσκουμε». Η Νέτερ έδειξε ότι δεν είναι τρία πράγματα αλλά ένα, και ότι προκύπτουν από κάτι πιο θεμελιώδες: τη συμμετρία.
Μια πιο εννοιολογική ανάγνωση του θεωρήματος της Νέτερ
Ας δούμε το θεώρημα με όχημα την έννοια της ενέργειας:
- Το θεώρημα της Νέτερ διατυπώνεται στο πλαίσιο της Λαγκρανζιανής μηχανικής3.
- Αν οι Λαγκρανζιανές περιγράφουν όντως τον κόσμο (και όλα δείχνουν ότι τον περιγράφουν) και υπάρχει συμμετρία ως προς τον χρόνο, τότε από τη Λαγκρανζιανή του συστήματος προκύπτει μια ποσότητα που ονομάζουμε ενέργεια, η οποία πρέπει να διατηρείται (η ενέργεια είναι η διατηρούμενη ποσότητα που αντιστοιχεί στη συμμετρία της δράσης ως προς τις χρονικές μετατοπίσεις). Με αυτόν τον τρόπο, αφενός χαρακτηρίζουμε τι είναι η ενέργεια, αφετέρου προκύπτει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.
Αντίστοιχες διατυπώσεις μπορούν να γίνουν και για την ορμή και τη στροφορμή.
Συμμετρία εδώ δεν σημαίνει το σχήμα ενός αντικειμένου, αλλά μια αλλαγή που αφήνει τους ίδιους τους νόμους απαράλλαχτους: κάνεις κάτι στο σύστημα και η περιγραφή του δεν αλλάζει καθόλου. «Συνεχής» σημαίνει ότι η αλλαγή μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρή: μπορείς να μετατοπιστείς κατά ένα λεπτό ή κατά ένα χιλιοστό του δευτερολέπτου, να στρίψεις κατά οποιαδήποτε γωνία. Η απόδειξη της Νέτερ απαιτεί αυτού του είδους τη συμμετρία, γιατί ξεκινά από μια απειροστά μικρή αλλαγή και καταλήγει σε συμπέρασμα που ισχύει για όλη την κίνηση. ↩︎
Η δράση είναι μια έννοια που προέρχεται από τη Λαγκρανζιανή μηχανική3: ένα μέγεθος που αθροίζει/ολοκληρώνει τη Λαγκρανζιανή σε όλη τη διαδρομή του συστήματος. Η πραγματική τροχιά είναι εκείνη που το κάνει στάσιμο (εναλλακτικά, χάνοντας σε ακρίβεια, μπορούμε να πούμε ότι το ελαχιστοποιεί). ↩︎
Η Λαγκρανζιανή μηχανική είναι μια εναλλακτική οπτική για την κλασική φυσική: δίνει τις ίδιες προβλέψεις με τη νευτώνεια, αλλά ξεκινά από ενέργεια και διαδρομές αντί για δυνάμεις, και γενικεύεται πολύ ευκολότερα. Το τίμημα είναι ότι απαιτεί, πέρα από τον απειροστικό λογισμό, και τον λογισμό των μεταβολών. ↩︎ ↩︎
Αφήστε ένα σχόλιο
Τα σχόλια ελέγχονται πριν δημοσιευθούν και εμφανίζονται με την επόμενη ενημέρωση του ιστότοπου.