Σύγχυση με μονάδες μέτρησης

Δύο μεγέθη μπορεί να μετριούνται με την ίδια μονάδα και να μην είναι το ίδιο πράγμα. Η μονάδα φανερώνει τη διάσταση ενός μεγέθους, όχι το είδος του· γι’ αυτό μια διαστατική ανάλυση που «βγαίνει» δεν εγγυάται ότι συγκρίνουμε ή προσθέτουμε ομοειδή μεγέθη.

Διάσταση και είδος μεγέθους

Το Διεθνές Λεξιλόγιο Μετρολογίας (VIM) διακρίνει τη διάσταση (quantity dimension) από το είδος μεγέθους (kind of quantity).

Η διάσταση λέει πώς εξαρτάται ένα μέγεθος από τα βασικά μεγέθη του συστήματος: για παράδειγμα, η ενέργεια έχει διάσταση \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\). Το είδος μεγέθους είναι η φυσική έννοια που μετράμε και, άρα, ποια μεγέθη επιτρέπεται να συγκρίνουμε μεταξύ τους.

Μεγέθη του ίδιου είδους έχουν την ίδια διάσταση. Δεν ισχύει όμως το αντίστροφο: δύο μεγέθη μπορούν να έχουν την ίδια διάσταση —και ακόμη την ίδια γραφή μονάδας— χωρίς να είναι το ίδιο είδος. Το VIM δίνει ρητά ως παράδειγμα τη ροπή δύναμης και την ενέργεια.

Διάσταση	Μονάδα SI	Διαφορετικά είδη μεγέθους
\(\mathsf{M\,L^{-3}}\)	kg/m³	πυκνότητα μάζας· συγκέντρωση μάζας ενός συστατικού
\(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\)	J ή N·m	ενέργεια· ροπή δύναμης
\(\mathsf{L^{2}\,T^{-2}}\)	J/kg	απορροφούμενη δόση (Gy)· ισοδύναμη δόση (Sv)
\(\mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-2}}\)	Pa ή J/m³	πίεση· πυκνότητα ενέργειας
\(\mathsf{M\,T^{-2}}\)	N/m ή J/m²	επιφανειακή τάση· σταθερά ελατηρίου· ενέργεια επιφάνειας
\(\mathsf{L^{2}\,T^{-1}}\)	m²/s	κινηματικό ιξώδες· συντελεστής διάχυσης· θερμική διαχυτότητα
\(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}\,\Theta^{-1}}\)	J/K	θερμοχωρητικότητα· εντροπία
\(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-1}}\)	J·s	δράση (π.χ. η σταθερά του Planck)· στροφορμή

Τα ειδικά ονόματα μονάδων συχνά βοηθούν ακριβώς να μη χαθεί η διάκριση: Pa αντί για N/m², Gy αντί για J/kg και Sv αντί για J/kg. Δεν αλλάζουν τη διάσταση· δηλώνουν τη χρήση και το είδος του μεγέθους. Αντιστρόφως, το ίδιο σύμβολο μπορεί να χρησιμοποιείται για διαφορετικά είδη, όπως το J/K για θερμοχωρητικότητα και για εντροπία. Βλ. και τη σχετική σημείωση του VIM για τις μονάδες μέτρησης.

Γωνίες και το rad

Στο σημερινό SI, για ιστορικούς και συμβατικούς λόγους, η επίπεδη γωνία αντιμετωπίζεται ως ποσότητα με μονάδα ένα: το rad είναι η συνεκτική μονάδα της, αλλά \(1\ \mathrm{rad}=1\). Παρ’ όλα αυτά, το σύμβολο rad διατηρείται όπου χρειάζεται, ώστε να φαίνεται ότι πρόκειται για γωνία και όχι για οποιοδήποτε άλλο αδιάστατο μέγεθος.

Υπάρχει ευρύτερη μετρολογική και φυσική συζήτηση για το αν η γωνία θα έπρεπε να έχει δική της διάσταση ή να αντιμετωπίζεται ως ανεξάρτητη βασική ποσότητα. Η επιλογή αυτή θα ξεχώριζε τυπικά, για παράδειγμα, τη ροπή από την ενέργεια και τη γωνιακή συχνότητα από τη συχνότητα, δύο περιπτώσεις που εξετάζονται παρακάτω. Δεν είναι όμως η τρέχουσα σύμβαση του SI: σήμερα η διάσταση της γωνίας είναι ένα, ενώ το rad λειτουργεί ως σημαντικός σημασιολογικός δείκτης. Το BIPM έχει εξετάσει ρητά το θέμα μέσω της ομάδας εργασίας του για γωνία και αδιάστατα μεγέθη.

Πυκνότητα μάζας και συγκέντρωση μάζας

Η πυκνότητα μάζας ενός σώματος είναι η συνολική μάζα του ανά μονάδα όγκου:

\[ \rho = \frac{m}{V}. \]

Η συγκέντρωση μάζας ενός συστατικού σε ένα μείγμα είναι η μάζα εκείνου του συστατικού ανά μονάδα όγκου του μείγματος:

\[ \rho_B = \frac{m_B}{V}. \]

Και τα δύο μεγέθη μετρώνται σε kg/m³, αλλά απαντούν σε διαφορετικές ερωτήσεις. Η \(\rho\) μπορεί να είναι η πυκνότητα μάζας του θαλασσινού νερού ως υλικού. Η \(\rho_B\), αντίθετα, μπορεί να είναι η συγκέντρωση μάζας του αλατιού μέσα στο ίδιο νερό. Η ίδια μονάδα δεν αρκεί για να δείξει αν μιλάμε για το σύνολο του υλικού ή για ένα συστατικό του.

Γιατί η ροπή δεν είναι ενέργεια

Η ροπή δύναμης και η ενέργεια έχουν και οι δύο μονάδες που μπορούν να γραφτούν ως N·m, αλλά περιγράφουν διαφορετικά πράγματα.

• Το έργο μιας δύναμης κατά μήκος μιας μετατόπισης είναι εσωτερικό γινόμενο: \(W = \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\). Είναι βαθμωτό μέγεθος.
• Η ροπή ως προς ένα σημείο είναι \(\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}\). Στην τρισδιάστατη περιγραφή είναι ψευδοδιάνυσμα· το μέτρο της είναι \(\tau = rF\sin\varphi\), όπου \(\varphi\) η γωνία ανάμεσα στο \(\mathbf{r}\) και στη δύναμη. Η ροπή είναι μέγιστη όταν η δύναμη είναι κάθετη στο \(\mathbf{r}\)· το \(r\sin\varphi\) είναι ο μοχλοβραχίονας.

Για περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα, το στοιχειώδες έργο είναι

\[ dW = \tau\,d\theta. \]

Άρα, όταν η ροπή είναι σταθερή, \(W = \tau\theta\). Μια ροπή 1 N·m που στρέφει ένα σώμα κατά 1 rad παράγει 1 J έργου. Αυτό δεν κάνει τη ροπή ενέργεια: επειδή, όπως είδαμε, το rad έχει διάσταση ένα, η διαστατική ανάλυση δεν μπορεί να ξεχωρίσει τις δύο έννοιες.

Ομοίως, η στιγμιαία ισχύς στην περιστροφή είναι \(P = \tau\omega\), όπου \(\omega\) η γωνιακή ταχύτητα. Είναι το περιστροφικό ανάλογο της σχέσης \(P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\) στη γραμμική κίνηση. Γι’ αυτό η ροπή και οι στροφές ανά μονάδα χρόνου καθορίζουν μαζί την ισχύ ενός κινητήρα.

Gy και Sv

Η περίπτωση του gray (Gy) και του sievert (Sv) είναι ιδιαίτερα διδακτική. Και οι δύο μονάδες ισοδυναμούν διαστατικά με J/kg, αλλά το Gy μετρά την απορροφούμενη δόση, δηλαδή την ενέργεια που αποτίθεται ανά μονάδα μάζας. Το Sv χρησιμοποιείται για την ισοδύναμη ή την ενεργό δόση: προκύπτει εφαρμόζοντας συντελεστές στάθμισης που λαμβάνουν υπόψη το είδος της ακτινοβολίας και, για την ενεργό δόση, την ευαισθησία των ιστών.

Το SI καθιέρωσε σκόπιμα τα διαφορετικά ονόματα, επειδή η σύγχυση των δύο μεγεθών μπορεί να έχει πρακτικές συνέπειες στην ακτινοπροστασία.

Το \(\mathrm{s^{-1}}\): Hz, Bq και γωνιακή συχνότητα

Η διάσταση \(\mathsf{T^{-1}}\) δίνει ένα ακόμη καθημερινό παράδειγμα. Η συχνότητα ενός περιοδικού φαινομένου μετρά κύκλους ανά δευτερόλεπτο και η μονάδα της είναι το hertz: \(1\ \mathrm{Hz} = 1\ \mathrm{s}^{-1}\). Η ενεργότητα ενός ραδιονουκλιδίου μετρά διασπάσεις ανά δευτερόλεπτο και η μονάδα της είναι το becquerel: \(1\ \mathrm{Bq} = 1\ \mathrm{s}^{-1}\).

Οι δύο μονάδες είναι διαστατικά ίσες, αλλά δεν είναι εναλλάξιμες ως ονόματα. Το Hz δηλώνει συχνότητα, ενώ το Bq δηλώνει ενεργότητα ραδιονουκλιδίου. Ένα δείγμα με ενεργότητα 100 Bq δεν περιγράφεται ως «100 Hz»: το πρώτο λέει πόσες πυρηνικές διασπάσεις συμβαίνουν ανά δευτερόλεπτο, όχι τη συχνότητα μιας επαναλαμβανόμενης ταλάντωσης.

Η γωνιακή συχνότητα προσθέτει μια τρίτη περίπτωση. Γράφεται συνήθως σε rad/s και συνδέεται με τη συχνότητα \(f\) μέσω της σχέσης \(\omega = 2\pi f\). Επειδή το rad έχει διάσταση ένα, τόσο η γωνιακή συχνότητα όσο και η συχνότητα έχουν διάσταση \(\mathsf{T^{-1}}\). Ωστόσο η πρώτη περιγράφει ρυθμό μεταβολής γωνίας, ενώ η δεύτερη αριθμό κύκλων ανά χρόνο· γι’ αυτό το rad/s διατηρεί μια χρήσιμη σημασιολογική διάκριση.

Υπάρχουν πολλές ακόμη περιπτώσεις που καταλήγουν σε \(\mathrm{s^{-1}}\), όταν ένα αδιάστατο μέγεθος —ή ένας λόγος του ίδιου μεγέθους προς τον εαυτό του— μεταβάλλεται στον χρόνο. Για παράδειγμα, στην εκθετική αύξηση

\[ \frac{dN}{dt} = rN, \]

ο \(r\) είναι ο σχετικός ρυθμός αύξησης: \(r = \frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\). Έχει διάσταση \(\mathsf{T^{-1}}\), είτε το \(N\) εκφράζει πληθυσμό, ποσότητα ουσίας ή άλλο μέγεθος. Το ίδιο ισχύει στη λογιστική αύξηση,

\[ \frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right), \]

όπου το \(r\) είναι ο εγγενής ρυθμός αύξησης και το \(1-N/K\) είναι αδιάστατο. Παρότι μπορεί να γράφεται σε \(\mathrm{s^{-1}}\), το \(r\) δεν είναι ούτε Hz ούτε Bq: περιγράφει τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται αναλογικά ένα σύστημα.