Metrology: Διάσταση μεγέθους

Κάθε φυσικό μέγεθος, πέρα από την τιμή και τη μονάδα του, έχει και μια διάσταση: τον τρόπο που «χτίζεται» από τα βασικά μεγέθη, όπως το μήκος, η μάζα και ο χρόνος. Η ταχύτητα, για παράδειγμα, είναι μήκος διά χρόνο, όποια μονάδα κι αν διαλέξουμε για να τη μετρήσουμε. Η σημείωση συγκεντρώνει τον τυπικό ορισμό της έννοιας, όσα η διάσταση δεν λέει για ένα μέγεθος, πού χρησιμεύει στην πράξη και ποια ζητήματα γύρω της μένουν ανοιχτά.

Ορισμός

Πηγή: VIM (JCGM 200:2012, §1.7) και ISO 80000-1.

Η διάσταση ενός μεγέθους εκφράζει πώς αυτό εξαρτάται από τα βασικά μεγέθη ενός συστήματος μεγεθών. Γράφεται ως γινόμενο δυνάμεων των βασικών μεγεθών και αγνοεί κάθε αριθμητικό συντελεστή.

Στο ISQ (International System of Quantities, το σύστημα πάνω στο οποίο στηρίζεται το SI) υπάρχουν επτά βασικές διαστάσεις:

Βασικό μέγεθος	Σύμβολο διάστασης	Μονάδα SI
μήκος	\(\mathsf{L}\)	m
μάζα	\(\mathsf{M}\)	kg
χρόνος	\(\mathsf{T}\)	s
ηλεκτρικό ρεύμα	\(\mathsf{I}\)	A
θερμοδυναμική θερμοκρασία	\(\mathsf{\Theta}\)	K
ποσότητα ουσίας	\(\mathsf{N}\)	mol
φωτεινή ένταση	\(\mathsf{J}\)	cd

Κάθε μέγεθος \(Q\) έχει τότε διάσταση:

\[ \dim Q = \mathsf{L}^{\alpha}\,\mathsf{M}^{\beta}\,\mathsf{T}^{\gamma}\,\mathsf{I}^{\delta}\,\mathsf{\Theta}^{\varepsilon}\,\mathsf{N}^{\zeta}\,\mathsf{J}^{\eta} \]

Οι εκθέτες λέγονται διαστατικοί εκθέτες (dimensional exponents). Για παράδειγμα:

• ταχύτητα: \(\dim v = \mathsf{L\,T^{-1}}\)
• δύναμη: \(\dim F = \mathsf{L\,M\,T^{-2}}\)
• ενέργεια: \(\dim E = \mathsf{L^{2}\,M\,T^{-2}}\)
• ηλεκτρικό φορτίο: \(\dim Q = \mathsf{T\,I}\)

Στο ISO 80000-1 τα σύμβολα διαστάσεων γράφονται με όρθια sans-serif γραμματοσειρά.

Πόσο «βασικά» είναι τα βασικά μεγέθη

Τα επτά βασικά μεγέθη του ISQ είναι ως έναν βαθμό αυθαίρετα: πρόκειται για επιλογή, όχι για κάτι που υπαγορεύει η φύση. Άλλα συστήματα διάλεξαν άλλο σύνολο. Το CGS χρησιμοποιεί μόνο τρία (μήκος, μάζα, χρόνο) και εκφράζει τα ηλεκτρικά μεγέθη μέσω αυτών (βλ. σημείο 2 παρακάτω). Στα συστήματα φυσικών μονάδων δεν μένει κανένα. Ακόμη και το ίδιο το SI άλλαξε σύνολο: η ποσότητα ουσίας, με μονάδα το mol, προστέθηκε ως έβδομο βασικό μέγεθος μόλις το 1971.

Ένα βασικό μέγεθος, εξ ορισμού, δεν εκφράζεται μέσω άλλων, όπως η δύναμη εκφράζεται ως μάζα επί επιτάχυνση. Η μονάδα του ορίζεται με αναφορά σε ένα φυσικό φαινόμενο ή σε μια σταθερά της φύσης. Το δευτερόλεπτο, για παράδειγμα, είναι η διάρκεια 9 192 631 770 ταλαντώσεων της ακτινοβολίας που εκπέμπει το άτομο του καισίου-133 σε μια συγκεκριμένη ενεργειακή μετάβαση.

Ο ορισμός μιας μονάδας μπορεί πάντως να στηρίζεται σε άλλη μονάδα: το μέτρο είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό σε 1/299 792 458 του δευτερολέπτου. Αυτό δεν κάνει τη διάσταση \(\mathsf{L}\) εξαρτημένη από τον χρόνο. Η ανεξαρτησία των βασικών μεγεθών είναι απόφαση του συστήματος μεγεθών, όχι συνέπεια του τρόπου που ορίζεται η μονάδα.

Από τα πρότυπα αντικείμενα στις σταθερές της φύσης

Στο παρελθόν κάποιες μονάδες βασίζονταν σε πρότυπα αντικείμενα. Το μέτρο, από το 1889 έως το 1960, ήταν το μήκος μιας ράβδου από πλατίνα-ιρίδιο. Τελευταίο έμεινε το χιλιόγραμμο: από το 1889 έως το 2019 ήταν, εξ ορισμού, η μάζα του Διεθνούς Πρωτοτύπου Χιλιογράμμου, ενός μικρού κυλίνδρου από πλατίνα-ιρίδιο που φυλάσσεται στο Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών (BIPM) στις Σεβρ, κοντά στο Παρίσι.

Οι περιοδικές συγκρίσεις του με τα επίσημα αντίγραφά του έδειχναν αποκλίσεις της τάξης των 50 μικρογραμμαρίων μέσα σε έναν αιώνα, και δεν υπήρχε τρόπος να ξέρουμε αν άλλαζε το πρότυπο ή τα αντίγραφα. Από τις 20 Μαΐου 2019 το χιλιόγραμμο ορίζεται μέσω της σταθεράς του Planck, και έτσι καμία μονάδα του SI δεν εξαρτάται πια από ένα φυσικό αντικείμενο.

Βασικά σημεία

Όλα καθιερωμένα στη βιβλιογραφία.

1. Η διάσταση δεν είναι μονάδα

Η διάσταση περιγράφει τη «δομή» του μεγέθους. Η μονάδα είναι μια συγκεκριμένη επιλογή μέτρησης. Το μήκος έχει διάσταση \(\mathsf{L}\) είτε το μετράς σε m, σε ft ή σε Å.

2. Η διάσταση εξαρτάται από το σύστημα μεγεθών

Είναι σημαντική και συχνά παρεξηγημένη λεπτομέρεια: η διάσταση εξαρτάται από το σύστημα μεγεθών και όχι μόνο από το φαινόμενο.

• Στο ISQ το ηλεκτρικό φορτίο έχει διάσταση \(\mathsf{T\,I}\).
• Στο Gaussian CGS, όπου το ρεύμα δεν είναι βασικό μέγεθος, το φορτίο έχει διάσταση \(\mathsf{M^{1/2}\,L^{3/2}\,T^{-1}}\).

Άρα η διάσταση είναι σχεσιακή ιδιότητα (μέγεθος σε σχέση με σύστημα), όχι εγγενής ιδιότητα του φυσικού μεγέθους.

3. Ίδιο είδος συνεπάγεται ίδια διάσταση, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει

Κλασικά αντιπαραδείγματα:

• ροπή (N·m) και ενέργεια (J): και τα δύο έχουν διάσταση \(\mathsf{L^{2}\,M\,T^{-2}}\)
• συχνότητα (Hz) και ραδιενεργός ενεργότητα (Bq): και τα δύο \(\mathsf{T^{-1}}\)
• θερμοχωρητικότητα και εντροπία: και τα δύο \(\mathsf{L^{2}\,M\,T^{-2}\,\Theta^{-1}}\)

Γι’ αυτό το VIM διακρίνει ρητά την έννοια kind of quantity (είδος μεγέθους) από τη διάσταση. Η διάσταση είναι πιο «χονδροειδής» ταξινόμηση. Περισσότερα παραδείγματα στη σημείωση Σύγχυση με μονάδες μέτρησης.

4. Μεγέθη διάστασης ένα (quantities of dimension one)

Είναι τα μεγέθη με όλους τους εκθέτες μηδέν, τα λεγόμενα «αδιάστατα». Παραδείγματα: δείκτης διάθλασης, λόγοι, αριθμός Reynolds, αριθμήσεις (counts).

Το VIM προτιμά τον όρο «διάστασης ένα» αντί για «αδιάστατο», γιατί τυπικά η διάσταση υπάρχει και ισούται με 1.

5. Διαστατική ομογένεια

Σε μια φυσικά έγκυρη εξίσωση, τα δύο μέλη (και κάθε προσθετέος) πρέπει να έχουν την ίδια διάσταση. Αυτό είναι αναγκαία, όχι ικανή, συνθήκη ορθότητας.

Χρήσεις

• Έλεγχος εξισώσεων: αν δεν «βγαίνουν» οι διαστάσεις, η εξίσωση είναι σίγουρα λάθος.
• Διαστατική ανάλυση και θεώρημα Buckingham π: αν ένα φαινόμενο εξαρτάται από \(n\) μεγέθη με \(k\) ανεξάρτητες διαστάσεις, περιγράφεται από \(n - k\) αδιάστατες ομάδες. Χρησιμοποιείται πολύ στη ρευστομηχανική και στην κατασκευή μοντέλων κλίμακας.
• Λογισμικό: βιβλιοθήκες τύπου units (π.χ. pint σε Python, units στην R, compile-time dimensional types σε F# ή C++) κωδικοποιούν ακριβώς το διάνυσμα των εκθετών. Προγραμματιστικά η διάσταση είναι ένα διάνυσμα στο \(\mathbb{Z}^7\) (ή \(\mathbb{Q}^7\)), και ο πολλαπλασιασμός μεγεθών αντιστοιχεί σε πρόσθεση διανυσμάτων.

Ανοιχτά ζητήματα

Γωνία

Στο SI το ακτίνιο (rad) ορίζεται ως m/m = 1, άρα η γωνία είναι μέγεθος διάστασης ένα.

Υπάρχει όμως ζωντανή συζήτηση στη μετρολογική κοινότητα (CCU και διάφορες δημοσιεύσεις στο Metrologia) για το αν η γωνία πρέπει να γίνει βασική διάσταση. Αυτό θα έλυνε ασάφειες όπως Hz έναντι rad/s και την ταύτιση ροπής με ενέργεια.

Φιλοσοφικό επίπεδο

Ερμηνεία, όχι γεγονός. Υπάρχουν δύο βασικές θέσεις:

• Η συμβατική θέση βλέπει τη διάσταση ως τεχνούργημα της επιλογής βασικών μεγεθών. Το σημείο 2 παραπάνω τη στηρίζει.
• Η ρεαλιστική θέση βλέπει τις διαστάσεις ως αντανάκλαση πραγματικών δομών της φύσης.

Η θεωρία των φυσικών μονάδων (\(c = \hbar = G = 1\)), όπου όλες οι διαστάσεις «καταρρέουν», συνήθως χρησιμοποιείται ως επιχείρημα υπέρ της πρώτης.