Η Παράγωγος ως Κλίση της Εφαπτομένης

Η έννοια της παραγώγου

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης ευθείας στο συγκεκριμένο σημείο.

Για τη συνάρτηση:

\[ y = x^2 \]

η παράγωγος είναι:

\[ \frac{dy}{dx} = 2x \]

Στο σημείο \(x=20\):

\[ f'(20)=2 \times 20 = 40 \]

Άρα η εφαπτομένη έχει κλίση 40.

---

Κώδικας R

# ===============================
# Συνάρτηση y = x^2
# ===============================

# Τιμές x
x <- seq(0, 40, length = 500)

# Συνάρτηση
y <- x^2

# ===============================
# Σημείο επαφής
# ===============================

x0 <- 20
y0 <- x0^2

# Παράγωγος της x^2 -> 2x
slope <- 2 * x0

# ===============================
# Εξίσωση εφαπτομένης
# y = y0 + slope*(x-x0)
# ===============================

tangent <- y0 + slope * (x - x0)

# ===============================
# Γράφημα
# ===============================

plot(x, y,
     type = "l",
     lwd = 3,
     col = "blue",
     xlab = "x",
     ylab = "y",
     main = expression(paste(
       "Παράγωγος ως κλίση εφαπτομένης στη ", y==x^2)),
     ylim = c(0, max(y)))

# Άξονες x και y μέσα στο plot
abline(h = 0, col = "green", lwd = 1.5)
abline(v = 0, col = "green", lwd = 1.5)

# Εφαπτομένη
lines(x, tangent,
      col = "red",
      lwd = 3,
      lty = 2)

# Σημείο επαφής
points(x0, y0,
       pch = 19,
       cex = 1.5)

# Ετικέτα σημείου
text(x0 - 1, y0 - 80,
     labels = "(20, 400)",
     pos = 4)

# ===============================
# Σχεδίαση γωνίας theta
# ===============================

theta <- atan(slope)

r <- 4

angles <- seq(0, theta, length = 100)

arc_x <- x0 + r * cos(angles)
arc_y <- y0 + r * sin(angles)

lines(arc_x, arc_y, lwd = 2)

text(x0 + 1.5,
     y0 + 30,
     expression(theta))

# ===============================
# Ορθογώνιο τρίγωνο
# (υποτείνουσα = εφαπτομένη)
# ===============================

# Οριζόντια πλευρά: από (20, 400) έως (30, 400)
segments(x0, y0,
         x0 + 10, y0,
         lwd = 2)

# Κάθετη πλευρά: από (30, 400) έως (30, y_εφαπτομένης στο x=30)
x1 <- x0 + 10
y1 <- y0 + slope * (x1 - x0)

segments(x1, y0,
         x1, y1,
         lwd = 2)

# Ένδειξη ορθής γωνίας (κλιμακωμένη ως προς το λόγο των αξόνων)
sq_x <- 1
sq_y <- 50
segments(x1 - sq_x, y0,         x1 - sq_x, y0 + sq_y, lwd = 1)
segments(x1 - sq_x, y0 + sq_y,  x1,        y0 + sq_y, lwd = 1)

# Ετικέτες Δx και Δy στις κάθετες πλευρές
text((x0 + x1)/2, y0, labels = expression(Delta * x == 10), pos = 1)
text(x1, (y0 + y1)/2, labels = expression(Delta * y == 400), pos = 4)

# ===============================
# Προβολές κορυφών στους άξονες
# ===============================

# Κάθετες προβολές (στον άξονα x)
segments(x0, 0, x0, y0, col = "gray60", lty = 3)
segments(x1, 0, x1, y1, col = "gray60", lty = 3)

# Οριζόντιες προβολές (στον άξονα y)
segments(0, y0, x0, y0, col = "gray60", lty = 3)
segments(0, y1, x1, y1, col = "gray60", lty = 3)

# Τιμές στους άξονες
axis(1, at = c(x0, x1), labels = c(x0, x1),
     col.axis = "gray30", tick = FALSE, line = -0.7)
axis(2, at = c(y0, y1), labels = c(y0, y1),
     col.axis = "gray30", tick = FALSE, line = -0.7, las = 1)

# ===============================
# Υπόμνημα
# ===============================

legend("topleft",
       legend = c(
         expression(y == x^2),
         "Εφαπτομένη στο σημειο με τετμημενη x = 20 και τεταγμενη y = 400",
         expression(f~"'"~"(20)=40"),
         expression(tan(theta) == "Δy/Δχ = 400/10 = 40")
       ),
       col = c("blue", "red", "black", "black"),
       lwd = c(3,3,NA,NA),
       lty = c(1,2,NA,NA),
       bty = "n")

---

Απαραίτητοι ορισμοί

• Ως κλίση γωνίας θ ορίζεται η εφαπτομένη της γωνίας θ (tan(θ))
• Ως κλίση μιας ευθείας ως προς τον άξονα Χ ορίζεται η κλίση της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ της ευθείας και του άξονα Χ.
• Η παράγωγος σε ένα σημείο x μιας συνάρτησης f(x) ισούται με τη κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο x.

Ερμηνεία του γραφήματος

• Η μπλε καμπύλη είναι η συνάρτηση:

\[ y=x^2 \]

• Η κόκκινη διακεκομμένη γραμμή είναι η εφαπτομένη στο σημείο \(x=20\).

• Η παράγωγος στο σημείο αυτό είναι:

\[ f'(20)=40 \]

• Η παράγωγος αντιστοιχεί στην κλίση της εφαπτόμενης.

• Η γωνία \(\theta\) που σχηματίζει η εφαπτόμενη με τον άξονα \(x\) ικανοποιεί:

\[ \tan(\theta)=40 \]

δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας ισούται με την παράγωγο της συνάρτησης στο συγκεκριμένο σημείο.