Η κανονική κατανομή σε διάστημα

Στο κυρίως κείμενο υπολογίσαμε μέσο όρο, μέση απόλυτη απόκλιση και διακύμανση για την τυπική κανονική \(N(0, 1)\) σε όλο τον άξονα. Εδώ περιορίζουμε την ίδια καμπύλη σε ένα μόνο τμήμα του άξονα, το \([a, b] = [-0.5,\ 2]\). Αυτό εισάγει μια νέα έννοια, την κανονικοποίηση, και δίνει μια κατανομή που δεν είναι συμμετρική. Έτσι φαίνονται πράγματα που στη συμμετρική κανονική κρύβονται.

Κανονικοποίηση

Το συνολικό βάρος μιας πυκνότητας πρέπει να είναι 1. Αν κρατήσουμε την καμπύλη μόνο στο \([a, b]\), το εμβαδόν της εκεί είναι μικρότερο από 1:

Για να πάρουμε έγκυρη πυκνότητα, διαιρούμε με το \(Z\). Όλα τα βάρη μεγαλώνουν αναλογικά, ώστε το συνολικό βάρος να είναι ξανά 1:

Είναι η ίδια ιδέα με το \(\frac{1}{b-a}\) των απλών συναρτήσεων. Κι εκεί διαιρούσαμε με το «συνολικό μέγεθος», ώστε το συνολικό βάρος να είναι 1.

f <- function(x) (1 / sqrt(2 * pi)) * exp(-x^2 / 2)
a <- -0.5
b <- 2

Z <- integrate(f, a, b)$value
g <- function(x) f(x) / Z

c(Z = Z, `∫ g` = integrate(g, a, b)$value)

        Z       ∫ g 
0.6687123 1.0000000 

Από εδώ και πέρα όλοι οι τύποι του κυρίως κειμένου ισχύουν όπως είναι, με \(g\) στη θέση της \(f\) και τα όρια \(a, b\) στη θέση των \(\pm\infty\).

Μέσος όρος

mu <- integrate(function(x) x * g(x), a, b)$value
mu

[1] 0.4457438

Ο μέσος όρος δεν είναι πια 0. Η καμπύλη κόβεται στο \(-0.5\) αριστερά αλλά απλώνεται ως το 2 δεξιά, οπότε το σημείο ισορροπίας μετακινείται δεξιά. Για το πώς συγκρίνεται με τον διάμεσο, δες το συνοδευτικό κείμενο για τον διάμεσο.

Μέση απόλυτη απόκλιση

mad <- integrate(function(x) abs(x - mu) * g(x), a, b, rel.tol = 1e-10)$value
mad

[1] 0.5120563

Στην Εικόνα 1, σε σύγκριση με την πλήρη κανονική του κυρίως κειμένου:

• Στο βήμα 1 η καμπύλη έχει «σκαλοπάτια» στα άκρα \(a\) και \(b\). Εκεί κόβεται, και είναι ψηλότερη από την αρχική, λόγω της διαίρεσης με το \(Z\).
• Στο βήμα 2 το «V» είναι αχνό έξω από το \([a, b]\). Εκεί το βάρος είναι 0, οπότε αυτές οι αποστάσεις δεν μετράνε.
• Στο βήμα 3 τα δύο πράσινα κομμάτια έχουν εντελώς διαφορετικό σχήμα: ένα ψηλό και στενό αριστερά, ένα χαμηλό και φαρδύ δεξιά. Έχουν όμως ίσο εμβαδόν. Η ιδιότητα ισορροπίας του μέσου όρου ισχύει για κάθε κατανομή, όχι μόνο για τις συμμετρικές.
• Στο βήμα 4 η απόκλιση (\(\approx 0.512\)) είναι μικρότερη από της πλήρους κανονικής (\(\approx 0.798\)). Οι τιμές περιορίζονται σε στενότερο διάστημα.

Διακύμανση

left  <- integrate(function(x) (x - mu)^2 * g(x), a, mu)$value
right <- integrate(function(x) (x - mu)^2 * g(x), mu, b)$value
c(`αριστερά` = left, `δεξιά` = right, `διακύμανση` = left + right,
  `σ` = sqrt(left + right))

  αριστερά      δεξιά διακύμανση          σ 
 0.1598941  0.2166998  0.3765938  0.6136724 

Εδώ φαίνεται μια σημαντική διαφορά από την απόλυτη απόκλιση. Στο βήμα 3 της Εικόνα 2 τα δύο μισά δεν είναι ίσα (αριστερά \(\approx 0.16\), δεξιά \(\approx 0.217\)). Ο μέσος όρος ισορροπεί τις απλές αποστάσεις, όχι τα τετράγωνά τους. Η δεξιά πλευρά φτάνει πιο μακριά από το \(\mu\), και το τετράγωνο «φουσκώνει» αυτές τις μακρινές αποστάσεις. Στην πλήρη κανονική τα μισά ήταν ίσα μόνο χάρη στη συμμετρία.

Επαλήθευση με κλειστούς τύπους

Για την κανονική σε διάστημα υπάρχουν γνωστοί κλειστοί τύποι, με \(\varphi\) = dnorm και \(\Phi\) = pnorm. Τα ολοκληρώματα συμφωνούν μαζί τους:

Zc   <- pnorm(b) - pnorm(a)
mu_c <- (dnorm(a) - dnorm(b)) / Zc
var_c <- 1 + (a * dnorm(a) - b * dnorm(b)) / Zc - mu_c^2
mad_c <- 2 * (mu_c * (pnorm(mu_c) - pnorm(a)) - (dnorm(a) - dnorm(mu_c))) / Zc

rbind(`ολοκληρώματα` = c(mu, mad, left + right),
      `κλειστοί τύποι` = c(mu_c, mad_c, var_c)) |>
  `colnames<-`(c("μέσος", "απόλ. απόκλιση", "διακύμανση"))

                   μέσος απόλ. απόκλιση διακύμανση
ολοκληρώματα   0.4457438      0.5120563  0.3765938
κλειστοί τύποι 0.4457438      0.5120563  0.3765938

Ασκήσεις

1. Χωρίς να υπολογίσεις ολοκλήρωμα: ποιος είναι ο μέσος όρος της κανονικής στο \([-1, 1]\); Μετά υπολόγισε το \(Z\). Τι σημαίνει ο αριθμός που βγαίνει;

2. Υπολόγισε τον μέσο όρο της κανονικής στο \([0, \infty)\) (τη «μισή» κανονική). Σύγκρινέ τον με τη μέση απόλυτη απόκλιση της πλήρους \(N(0, 1)\) από το κυρίως κείμενο. Γιατί βγαίνουν ίσα;

c(`μισή κανονική` = integrate(function(x) x * 2 * f(x), 0, Inf)$value,
  `√(2/π)` = sqrt(2 / pi))

μισή κανονική        √(2/π) 
    0.7978846     0.7978846 

Συντελεστές

Συγγραφή: Kostas Maistrelis (ORCID 0000-0002-0851-2866). Το κείμενο, οι εικόνες και ο κώδικας R αναπτύχθηκαν σε συνεργασία με το Claude της Anthropic.

Γλωσσική επιμέλεια: Codex της OpenAI.

Άδεια χρήσης

Το κείμενο και οι εικόνες διατίθενται με την άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού 4.0 (CC BY 4.0): μπορείς να τα χρησιμοποιήσεις, να τα αλλάξεις και να τα μοιραστείς, αρκεί να αναφέρεις την πηγή. Ο κώδικας (τα scripts R, το Makefile και τα κομμάτια κώδικα του κειμένου) διατίθεται με την άδεια MIT.